已知如图，平行四边形
中，
，
，
，正方形
所在平面与平面垂直，
分别是
的中点。
⑴求证：
平面
；
⑵求平面
与平面所成的二面角的正弦值。
（1）详见解析；（2）
.
解析试题分析：（1）证明线面平行，一般可考虑线面平行的判定定理，构造面外线平行于面内线，其手段一般是构造平行四边形，或构造三角形中位线(特别是有中点时)，由此本题即要证明
的中点
也是
的中点，于是只要证明四边形
是平行四边形，此较为容易；（2）求二面角一般分为三个步骤：作出二面角的平面角，证明此角是二面角的平面角，利用解三角形知识求出二面角的三角函数值，也可建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量的夹角，根进一步判断二面角的大小.
试题解析：⑴证明;
，
,
且
,
四边形是平行四边形，
为的中点，又
是
的中点
,
平面
平面,
平面 4分
⑵（解法1）过点
作
于
，易知为
中点，连结
.
易知
，
平面
，
,
是平面
与平面
所成的二面角的平面角. 8分
,
,
即平面与平面所成的二面角的正弦值为. 12分
（解法2）以点为坐标原点，
所在的直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，则
, 6分
,
设平面的法向量
由
，得
，
令
，
又平面的法向量为
, 9分
设平面与平面所成的二面角为
，则
，
即平面与平面所成的二面角的正弦值为. 12分
考点：空间中线面的位置关系，二面角.
教学练新同步练习系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝
，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．
（Ⅰ）证明：AD⊥C1E；
（Ⅱ）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.
（Ⅰ）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A—EB1—B的余弦值是
，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，
，
交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1,
（1）证明
；
（2）（文科）求三棱锥
的体积
（理科）求平面
和平面
所成的锐二面角的正切值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知直角梯形
，
是
边上的中点（如图甲），
，
，
，将
沿
折到
的位置，使
,点
在
上，且
（如图乙）
（Ⅰ）求证：
平面ABCD.
（Ⅱ）求二面角E?AC?D的余弦值
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中,
⊥底面
,
,
,
.
⊥平面
;
上的点
满足
,求三棱锥
的体积.
的底面
为正方形，
底面
分别是
的中点.
平面
；
平面
；
，求
与平面
中，底面
为菱形，
，
为
的中点。
，求证：平面
；
在线段
上，
，试确定
的值，使
；