Question

【题目】已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）m≥3或m≤﹣1.

【解析】

（1）利用零点分段法进行求解，即可得答案；

（2）由题意可得|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，设g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需g（x）min≥2，运用绝对值不等式的性质和绝对值的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围．.

（1）若，不等式①

当时，不等式①等价于，∴；

当时，不等式①等价于，∴；

当时，不等式①等价于，∴；

综上所述，不等式的解集为.

（2）关于x的不等式|x﹣1|≥1恒成立，即为|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，

设g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需g（x）min≥2，

而g（x）＝|x﹣m|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣m﹣x+1|+0＝|1﹣m|，当且仅当x＝1取得等号，

则g（x）的最小值为|1﹣m|，

由|1﹣m|≥2，

解得m≥3或m≤﹣1．