Question

【题目】已知数列{an}满足：a1=1，an= ，n=2，3，4，…．
（1）求a2 ， a3 ， a4 ， a5的值；
（2）设bn= +1，n∈N*，求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式；
（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，∴a2=1+2a1=3，

a3= +2a2= ，

a4=1+2a3=7，

a5= +2a4=

（2）解：由题意，对于任意的正整数n，bn= +1，

∴bn+1= +1，

又∵ +1=（2 +1）+1=2（ +1）=2bn，

∴bn+1=2bn，

又∵b1= +1=a1+1=2，

∴数列{bn}是首项、公比均为2的等比数列，其通项公式bn=2n

（3）解：对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中存在连续的2m项构成等差数列．

对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中， ， ， ，…， 这连续的2m就构成一个等差数列．

我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有 ”，

由（2）得 ，∴ ，

当k为奇数时， = ，

当k为偶数时， =1+2a ，

记 ，∴要证 = ，只需证明 ，

其中 ，k1∈N*，

（这是因为若 ，则当 时，则k一定是奇数）

有 =

= = ，

当 时，则k一定是偶数，

有 =1+

=1+2（ ）=1+2（ ）= ，

以此递推，要证 = ，只要证明 ，

其中 ，k2∈N*，

如此递推下去，我们只需证明 ， ，

即 ，即 ，

由（Ⅱ）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，

有 ，

对任意的m≥2，m∈N*，

= ， ，其中i∈（0，2m﹣1），i∈N*，

∴ ﹣ =﹣ ，

又 ， ，

∴ ，

∴ ， ， ，…， 这连续的2m项，是首项为 ，公差为﹣ 的等差数列

【解析】（1）由a1=1，利用递推公式能求出a2 ， a3 ， a4 ， a5的值．（2）由题意，对于任意的正整数n，bn= +1，从而bn+1= +1，进而bn+1=2bn ， 由此能证明数列{bn}是首项、公比均为2的等比数列，并求出其通项公式．（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中存在连续的2m项构成等差数列．对任意的m≥2，k∈N* ， 在数列{an}中， ， ， ，…， 这连续的2m就构成一个等差数列．利用构造法和分类讨论法能推导出 ， ， ，…， 这连续的2m项，是首项为 ，公差为﹣ 的等差数列．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．