Question

【题目】设函数，（）.

（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；

（2）求函数的单调增区间；

（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（III）的最小值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）代入化简方程得，由二次方程解得或，再根据指对数关系得或.（Ⅱ）先求函数导数并明确函数定义域：，；再讨论导函数不变号情况：当时，，的增区间为；最后讨论导函数变号时符号变化规律：当时，由，解得；当时，由，解得.（III）存在性问题，一般转化为对应函数最值问题：，利用导数先求函数最小值：本题难点是最小值点不能解出，只能得到其所在区间，为使值能确定最小值，需精确考虑最小值点所在区间，如细化到

试题解析：解：（1）当时，方程即为，去分母，得

，解得或， …………2分

故所求方程的根为或. ………4分

（2）因为，

所以（）， ……6分

①当时，由，解得；

②当时，由，解得；

③当时，由，解得；

④当时，由，解得；

⑤当时，由，解得.

综上所述，当时，的增区间为；

当时，的增区间为；

时，的增区间为. ………10分

（3）方法一：当时，，，

所以单调递增，，，

所以存在唯一，使得，即， ……………12分

当时，，当时，，

所以，

记函数，则在上单调递增， ……14分

所以，即，

由，且为整数，得，

所以存在整数满足题意，且的最小值为. ………16分

方法二：当时，，所以，

由得，当时，不等式有解， ……………12分

下证：当时，恒成立，即证恒成立.

显然当时，不等式恒成立，

只需证明当时，恒成立.

即证明.令，

所以，由，得， ………14分

当，；当，；

所以.

所以当时，恒成立.

综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为. .……………16分