Question

【题目】已知函数.

(1)讨论函数的单调区间;

(2)若存在两个不相等的正数,,满足,证明:.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）先求导可得,令解得,,由的定义域为,分别讨论与时的情况即可；

（2）由（1）可判定当存在两个不相等的正数,,满足时,,

设,利用导函数可判断当时,,设设,则,,将代入可得,由可得,根据的单调性可得,则,利用其即可证明

（1）由题,函数的定义域为,

,

令,即,解得,,

当,即时,在上,所以在上单调递增；

当,即时,在上,在上,所以在上单调递减,在上单调递增

（2）证明:由（1）,当时,在上单调递增,则不存在两个不相等的正数,,满足,所以,

设,

则,

令,解得,

所以当时,,所以在上单调递减；

当时,,所以在上单调递增,

所以,

所以当时,,

即当时,,

由（1）得在上单调递减,在上单调递增,

不妨设,则,,

所以,

又因为,所以,

因为,所以,即,

因为,,,

所以