Question

己知双曲线的中心在原点，右顶点为（1，0），点、Q在双曲线的右支上，点 （，0）到直线的距离为1．

（1）若直线的斜率为且有,求实数的取值范围；

（2）当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程．

Answer 1

（1）  或 （2） 

解析:

设直线的方程为：，…………………2分

由点到直线的距离为可知：

得到，…………………5分

因为，所以，

所以  ，或

所以   或；…………………8分

（2）当时，，

由于点到直线的距离为，所以直线的斜率，……10分

因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点，所以轴，不妨设直线交轴于点，则，

所以点的坐标为，…………………12分

所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得，所以两点的坐标分别为：，

设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到

，…………………15分

所以双曲线方程为：…………………16分