Question

若F₁、F₂为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，点P及N （2，）均在双曲线上，M在C的右准线上，且满足．
（1）求双曲线C的离心率及其方程；
（2）设双曲线C的虚轴端点B₁、B₂（B₁在y轴的正半轴上），点A，B在双曲线上，且，当时，求直线AB的方程．

Answer 1

解：（1）由题知：|OF₁|=|PM|=c，∠F₁OP=∠POM，∴F₁OMP是菱形，…（1分）
∵由双曲线第一定义：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₁|=|OF₁|=c，
∴|PF₂|=2a+c，
∴由双曲线第二定义得：e==；
∴e=2+1，即e²-e-2=0；
解得e=2或e=-1（舍）；…（3分）
∵，∴c=2a，
∴b²=3a²
将N（2，）代入双曲线方程得 ，
∴a²=3，b²=9…（5分）
∴所求双曲线方程为…（6分）
（2）由（1）知B₁（0，3），B₂（0，-3），
∵，∴B₂，A，B三点共线，即直线AB过B₂（0，-3），
∴设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则．
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴（1+k²）x₁x₂-6k（x₁+x₂）+36=0．
将x₁+x₂和x₁x₂代入，得．
检验满足△＞0，
∴直线AB的方程为．
分析：（1）由题知：|OF₁|=|PM|=c，∠F₁OP=∠POM，故F₁OMP是菱形，由双曲线第一定义：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₁|=|OF₁|=c，故|PF₂|=2a+c，由双曲线第二定义得：e==，解得e=2或e=-1（舍），由此能求出双曲线方程．
（2）由（1）知B₁（0，3），B₂（0，-3），，故直线AB过B₂（0，-3），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则．由，知（1+k²）x₁x₂-6k（x₁+x₂）+36=0．由此能求出直线AB的方程．
点评：本题考查双曲线C的离心率及其方程的求法，求直线AB的方程．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．