Question

【题目】设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为 ，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p

点A到准线l的距离 ，

∵△ABD的面积S△ABD= ，

∴ = ，

解得p=2，所以F坐标为（0，1），

∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8

（2）解：由题设 ，则 ，

∵A，B，F三点在同一直线m上，

又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．

由点A，B关于点F对称得：

得： ，直线 ， 切点

直线

坐标原点到m，n距离的比值为

【解析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离 ，由△ABD的面积S△ABD= ，知 = ，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设 ，则 点A，B关于点F对称得： ，得： ，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．