Question

【题目】在椭圆上任取一点（不为长轴端点），连结、，并延长与椭圆分别交于点、两点，已知的周长为8，面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设坐标原点为，当不是椭圆的顶点时，直线和直线的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，值为.

【解析】

（1）根据椭圆的定义，结合的周长为8，求出的值，设出点的坐标，结合三角形面积公式，椭圆的范围，面积的最大值为.可以求出的关系，进而求出的值，最后求出椭圆的方程；

（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，利用解方程组，求出点坐标，同理求出的坐标，最后通过斜率公式，计算出直线和直线的斜率之积是定值.

（1）因为的周长为8，所以有

设，因为面积的最大值为.所以的最大值为，由椭圆的范围，当时，面积最大，因此有，而，因为，所以，所以椭圆标准方程为：；

（2）当不是椭圆的顶点时，因此.

直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得：

，

，，

同理直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得：

，

，

为定值.