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    把正偶数列{2n}中的数按“上小下大，左小右大”的原则排成如图“三角形”所示的数表，设aij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．
    （1）若amn=2010，求m，n的值．
    （2）已知函数f（x）的反函数为f-1（x）=n+125n•x3（x＞0，n∈N*），若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn．①求数列{f（bn）}的前n项和Sn；②令Cn=
    52n
    5n-1
    • f(bn) ，{Cn}    的前n项之积为Tn（n∈N*），求证：Tn＜
    4
    3
    •n!    ．
    分析：（1）数表中是连续的偶数，amn是第m行的第n个数，n≤m，所以先计算前m-1行共有1+2+3+…+m-1=
    m(m-1)
    2
    个数，再加上n等于1005，求出m，n的值．
    （2）①先根据f（x）的反函数解析式求出f（x）的解析式，利用等差数列的求和公式，求出前n-1行共有多少个偶数，找到第n行的第一个数，再用等差数列的求和公式求出bn，代入f（x），利用错位相减求和即可．
    ②化简Tn，再利用数学归纳法证明Tn＜
    4
    3
    •n!    成立即可．数学归纳法的步骤，先验证n取第一个数时命题成立，假设n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立．
    解答：解：（1）因2010是第1005个偶数，而前m-1行共有1+2+…+n=
    m(m-1)
    2
    个偶数，又∵n≤m，故2010位于第45行第15个偶数，故m=45，n=15
    （2）①由y=n+125n•x3得：x=
    3y-n
    5n
    ，f（x）=设T表示前n个偶数和，则
    bn=T
    n(n+1)
    2
    -T
    n(n-1)
    2
    =
    n(n+1)
    2
    [2+n(n+1)]
    2
    -
    n(n-1)
    2
    [2+n(n-1)]
    2
    =n3+n
    故f（bn）=
    n
    5n
    ，Sn=
    1
    5
    +
    2
    52
    +
    3
    53
    +…+
    n
    5n
    ，
    1
    5
    Sn=
    1
    52
    +
    2
    53
    +…+
    n
    5n+1

    4
    5
    Sn=
    1
    5
    +
    1
    52
    +
    1
    53
    +…+
    1
    5n
    +
    1
    5n+1
    ，
    ∴Sn=
    5
    16
    -
    4n+5
    16×5n

    ②易知Cn=
    52n
    5n-1
    • f(bn)    =
    52n
    5n-1
    • 
    n
    5n
    =
    n5n
    5n-1
    •
    ∴Tn=
    51
    5n-1
    52
    5n-1
    …
    5n
    5n-1
    （n!）
    要证Tn＜
    4
    3
    •n!    只需证明=
    51
    5n-1
    52
    5n-1
    …
    5n
    5n-1
    ＜
    4
    3
    ，
    又只需证明
    5-1
    5
    •
    52-1
    52
    … 
    5n-1
    5n
    =（1-
    1
    5
    ）（1-
    1
    52
    ）…（1-
    1
    5n
    ）＞
    3
    4
    ，
    下先用数学归纳法证明：（1-
    1
    5
    ）（1-
    1
    52
    ）…（1-
    1
    5n
    ）≥1-（
    1
    5
    +
    1
    52
    +…+
    1
    5n
    ）
    （Ⅰ）当n=1时，1-
    1
    5
    =
    4
    5
    ≥1-
    1
    5
    故n=1成立；
    （Ⅱ）假设n=k时，=（1-
    1
    5
    ）（1-
    1
    52
    ）…（1-
    1
    5k
    ）＞1-（
    1
    5
    +
    1
    52
    +…+
    1
    5k
    ），
    则n=k+1时，=（1-
    1
    5
    ）（1-
    1
    52
    ）…（1-
    1
    5k
    ）（1-
    1
    5k+1
    ）＞1-（
    1
    5
    +
    1
    52
    +…+
    1
    5k
    ）（1-
    1
    5k+1
    ），
    =1-（
    1
    5
    +
    1
    52
    +…+
    1
    5k
    +
    1
    5k+1
    ）+（
    1
    5
    +
    1
    52
    +…+
    1
    5k
    ）
    1
    5k+1
    ＞1-（
    1
    5
    +
    1
    52
    +…+
    1
    5k
    +
    1
    5k+1
    ），
    故n=k+1也成立．
    综合（Ⅰ），（Ⅱ）知：：（1-
    1
    5
    ）（1-
    1
    52
    ）…（1-
    1
    5n
    ）≥1-（
    1
    5
    +
    1
    52
    +…+
    1
    5n
    ）=1-
    1
    5
    (1-
    1
    5n
    )
    1-
    1
    5

    =
    3
    4
    +
    1
    4
    1
    5n
    ＞
    3
    4

    故原不等式成立．
    点评：本题主要考查了函数与数列综合应用来求数列的和，以及数学归纳法证明不等式成立，注意解题步骤的书写．
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    把正偶数列{2n}中的数按上小下大,左小右大的顺序排序成下图“三角形”所示的数表.设amn是位于这个三角形数表中从上到下的第m行,从左到右的第n列的数.

                      2

                      4  6

                      8  10  12

                      14  16  18  20

                      22  24  26  28  30

                      …

    (1)若记三角形数表中从上往下数第n行各数字之和为bn,求数列{bn}的通项公式.

    (2)记cn-1=(n≥2),求数列{cn}的前n项和Sn.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    把正偶数列{2n}中的数按上小下大,左小右大的顺序排序成下图“三角形”所示的数表.设amn是位于这个三角形数表中从上到下的第m行,从左到右的第n列的数.

    2

    4  6

    8  10  12

    14  16  18  20

    22  24  26  28  30

    …

    (1)若记三角形数表中从上往下数第n行各数字之和为bn,求数列{bn}的通项公式;

    (2)记cn-1=(n≥2),数列{cn}的前n项和为Sn,求Sn的值.

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