Question

【题目】已知函数， ，函数的图象在点处的切线平行于轴.

(1)求的值；

(2)求函数的极小值；

(3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点， ， ，证明： .

Answer 1

【答案】(1) (2) 函数的极小值为.(3) 见解析

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，解得.（2）先求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极小值点（3）先利用斜率公式化简所证不等式，再利用换元转化为，最后根据导数分别证明及

试题解析：解：(1)依题意得，则.

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：

，所以.

(2)由(1)得，

因为函数的定义域为，令得或.

函数在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，

故函数的极小值为.

(3)证法一：依题意得，

要证，即证，

因，即证，

令，即证，

令，则，所以在上单调递减，

所以，即，所以①

令，则，

所以在上单调递增，

所以，即②

综①②得，即.

证法二：依题意得，

令，则，

由得，当时， ，当时， ，

所以在单调递增，在单调递减，又，

所以，即.