Question

【题目】已知函数
（1）当a＜0时，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）当a=﹣4时，对任意的实数x1 ， x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围；
（3）当 ， ，y=|F（x）|在（0，1）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a＜0时，f′（x）=1﹣ ＞0，

故f（x）在（0，+∞）递增

（2）解：若对任意的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2），

则f（x）max≤g（x）min，

a=﹣4时，f（x）=x﹣ ，f′（x）=1+ ＞0，

f（x）在[1，2]递增，

∴f（x）max=f（2）=0，

而g（x）=x2﹣2mx+2，x∈[1，2]，

对称轴x=m，

由题意得：

或 或 ，

解得：m≤1或1＜m≤ 或m∈，

故m≤

（3）解：a=0时，显然不成立，

a＞0时，f（x）＞0在（0， ）恒成立且在（0， ）上递减，

∴ ，解得：a≥ ，

a＜0时，|f（x）|要在（0， ）递减，

则 ，解得：a≤﹣ ，

综上，a≤﹣ 或a≥

【解析】（1）求出函数的导数，通过a的符号，判断函数的符号，求出函数的单调性即可；（2）问题转化为f（x）max≤g（x）min ， 求出f（x）的最大值，根据二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可；（3）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．