Question

【题目】已知椭圆C1的方程为 + =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设双曲线C2的方程： ，

则c2=4，a2=4﹣2=2，由a2+b2=c2，则b2=2，

故双曲线C2的方程：

（2）解：由题意可知：设直线l的方程y=kx+2，则 ，整理得：（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0，

直线l与双曲线相交于不同两点E，F，

则 ，解得﹣ ＜k＜﹣1或1＜k＜ ，

设E（x1，y1），F（x2，y1），则x1+x2= ，x1x2= ，

则丨EF丨= = ，

原点O到直线l的距离d= ，

则△OEF的面积S= ×d×丨EF丨= × × = ，

由S=2 ，则 =2 ，整理得：k4﹣k2﹣2=0，

解得：k= ，

满足﹣ ＜k＜﹣1或1＜k＜ ，

故满足条件的直线l有两条，其方程为y= x+2或y=﹣ x+2

【解析】（1）设双曲线的方程，由双曲线的性质，即可求得a和b的方程，即可求得双曲线的方程；（2）设直线l的方程，代入双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨EF丨，利用三角形的面积公式，即可求得k的值，求得直线l的方程．