Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c满足条件：

①0，1是f(x)=0的两个零点；②f(x)的最小值为.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设数列{a_n}的前n项积为T_n,且T_n=λ^f(n)(λ≠0,n∈N^*),求数列{a_n}的前n项和S_n；

(3)在(2)的条件下，当λ=时,若5f(a_n)是b_n与a_n的等差中项，试问数列{b_n}中第几项的值最小？并求出这个最小值.

Answer 1

解:(1)由题意知：

解得故f(x)=x²x.

(2)∵T_n=a₁a₂…a_n=，当n≥2时,T_n-1=a₁·a₂·…·a_n-1=，

∴a_n==λ^n-1(n≥2).

又a₁=T₁=1满足上式,∴a_n=λ^n-1(n∈N^*).

当λ=1时,S_n=n,当λ≠1且λ≠0时,数列{a_n}是等比数列,∴S_n=.

故数列{a_n}的前n项和S_n=

(3)若5f(a_n)是b_n与a_n的等差中项,则2×5f(a_n)=b_n+a_n,从而10(a_n²a_n)=b_n+a_n,

得b_n=5a_n²-6a_n=5(a_n)².

∵a_n=()^n-1(n∈N^*)是关于n的减函数,

∴当a_n≥,即n≤3(n∈N^*)时,b_n随n的增大而减小,此时最小值为b₃;

当a_n＜,即n≥4(n∈N^*)时,b_n随n的增大而增大,此时最小值为b₄.

又|a₃|＜|a₄|,∴b₃＜b₄,即数列{b_n}中b₃最小,

且b₃=5［()²］²-6()²=.