Question

【题目】已知f（x）= sin2x+2+2cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为 ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，f（x）= sin2x+2+2cos2x= sin2x+2 +2= sin2x+cos2x+3=2sin（2x+ ）+3，

其最小正周期T= =π，

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，

解可得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

单调递减区间[kπ﹣ ，kπ+ ]k∈z

（2）解：根据题意，若f（A）=4，则f（A）=2sin（2A+ ）+3=4，

则sin（2A+ ）= ，

又由0＜A＜π，

则有A= ；

S△ABC= bcsinA= ，而b=1，

则c=2，

则a2=b2+c2﹣2bccosA=3，

故a=

【解析】（1）由三角函数恒等变换公式可得f（x）=2sin（2x+ ）+3，由周期公式可得其最小正周期，进而由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，解可得f（x）的单调递减区间；（2）根据题意，由f（A）=4可得sin（2A+ ）= ，结合A的范围可得A= ，由正弦定理可得b=1，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入数据计算可得答案．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．