【题目】已知椭圆 的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为、, 为坐标原点,四边形的面积为,且该四边形内切圆的方程为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若、是椭圆上的两个不同的动点,直线、的斜率之积等于,试探求的面积是否为定值,并说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1)利用题意求得, ,则椭圆的方程为: ;
(2)分别考查斜率存在和斜率不存在两种情况,求得的面积为定值.
试题解析:
(Ⅰ)四边形的面积为,又可知四边形为菱形,
,即 ①
由题意可得直线方程为: ,即
四边形内切圆方程为
圆心到直线的距离为,即②
由①②解得: ,
椭圆的方程为:
(Ⅱ)若直线的斜率存在,设直线的方程为, , ,
由得:
直线与椭圆相交于两个不同的点,
得: ③
由韦达定理:
直线的斜率之积等于,
满足③
又到直线的距离为,
所以的面积
若直线的斜率不存在, 关于轴对称
设, ,则,
又 在椭圆上, ,
所以的面积
综上可知, 的面积为定值.
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【题目】已知f(x)= sin2x+2+2cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期与单调递减区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,若f(A)=4,b=1,△ABC的面积为 ,求a的值.
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【题目】在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是 ,则sin2θ﹣cos2θ的值等于( )
A.1
B.﹣
C.
D.﹣
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【题目】已知 =( sinx,m+cosx), =(cosx,﹣m+cosx),且f(x)=
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[﹣ , ]时,f(x)的最小值是﹣4,求此时函数f(x)的最大值,并求出相应的x的值.
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【题目】某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成小块地,在总共小块地中,随机选小块地种植品种甲,另外小块地种植品种乙.
(1)假设,求第一大块地都种植品种甲的概率;
(2)试验时每大块地分成小块,即,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:
甲 | ||||||||
乙 |
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?
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【题目】某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元;停在B区域返券30元;停在C区域不返券.例如:消费218元,可转动转盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和.
(1)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率;
(2)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为(元).求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】在△ABC中,已知内角 ,边 .设内角B=x,△ABC的面积为y.
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2)当角B为何值时,△ABC的面积最大.
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