Question

【题目】已知函数，

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数在上单调递减，在， 上单调递增． （Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时， ，求导因式分解可得单调区间;

（2）利用导数将不等式恒成立问题转化为对单调性的讨论，再利用单调性求解参数范围.

试题解析：（Ⅰ）当时，

则，

此时：函数在上单调递减，在， 上单调递增．

（Ⅱ）依题意有：

，

令，

得： ，

①当即时，

函数在恒成立，

则在单调递增，

于是，

解得： ；

②当即时，

函数在单调递减，在单调递增，

于是，不合题意，

此时： ；

综上所述：实数的取值范围是

点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.