Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可。

（Ⅱ）由于时，，若要使得成立，只需时，成立，利用导数讨论的最大值和的最小值，即可求出实数的取值范围。

（Ⅰ）由题可得的定义域为，，

当时，，解得，或，，解得，

∴在，上是增函数，在上是减函数；

当时，，解得，或，，解得，

∴在，上是增函数，在上是减函数；

当时，恒成立，且只在时，∴在上是增函数.

（Ⅱ）时，，

若要使得成立，

只需时，成立，

由（Ⅰ）知当时，在上是增函数，，

当时，在上是减函数，在上是增函数，

，

当时，在上是减函数，，

，对称轴，

当时，在上是增函数，，

，解得，∴，

当时，在上是增函数，在上是减函数，

，，

整理得，∵，∴只需，

令，，当时，，在上是增函数，又，∴时，，∴.

当时，在上是减函数，，

，解得，

综上所述，或.