Question

已知函数f(x)=

3

sinπx+cosπx，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）设函数f（x）在[-1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求

PM

与

PN

的夹角的余弦．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式 化简函数的解析式为f（x）=2sin(πx+

π

6

)，根据-1≤sin(πx+

π

6

)≤1，
 求得函数f（x）的最大值和最小值．
 （2）令f(x)=2sin(πx+

π

6

)=0，求出M、N两点的坐标，由sin(πx+

π

6

)=1，求出点P的坐标，
由 cos＜

PM

，

PN

＞=

PM • PN

| PM |•| PN |

 求得结果．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

sinπx+cosπx=2(

3

2

sinπx+

1

2

cosπx)
=2sin(πx+

π

6

)．
∵x∈R，∴-1≤sin(πx+

π

6

)≤1，
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为2，-2．
（2）令f(x)=2sin(πx+

π

6

)=0，得πx+

π

6

=kπ，k∈Z，
∵x∈[-1，1]，∴x=-

1

6

，或x=

5

6

，∴M(-

1

6

，0)，N(

5

6

，0)，
由sin(πx+

π

6

)=1，且x∈[-1，1]得 x=

1

3

，∴P(

1

3

，2)，
∴

PM

=(-

1

2

，-2)，

PN

=(

1

2

，-2)，从而  cos＜

PM

，

PN

＞=

PM • PN

| PM |•| PN |

=

15

17

．

点评：本题考查两角和差的正弦公式，三角函数的最值，两个向量夹角公式的应用，求出M、N两点的坐标，是解题的难点．