Question

（2012•江苏一模）已知函数f（x）=x+sinx．
（1）设P，Q是函数f（x）的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
（2）求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在[0，

π

2

]上恒成立．

Answer 1

分析：（1）先利用导数研究函数的单调性，然后设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据斜率的定义建立关系式，从而可知可证结论；
（2）设Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx，x∈[0，

π

2

]，然后利用导数研究函数的最小值，使得Q（x）_min≥0即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x+sinx
∴f'（x）=1+cosx≥0
∴函数f（x）在R上单调递增
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则

y2-y1

x2-x1

＞0，即k_PQ＞0
∴直线PQ的斜率大于0；
（2）依题意得，设Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx，x∈[0，

π

2

]，
1°当a≤0时，Q（x）≤0恒成立； …（8分）
2°当a＞0时，Q'（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，…（10分）
①0＜a≤2时，Q'（x）≤0，Q（x）在[0，

π

2

]上单调递减，
所以Q（x）≤Q（0）=0恒成立；…（12分）
②a＞2时，注意到当x∈[0，  

π

2

]时，x≥sinx，
于是Q（x）=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x（acosx-2），
必存在x0∈(0，

π

2

)，使得当x∈（0，x₀）时，有Q（x₀）＞0，不能使Q（x）≤0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为a≤2． …（16分）

点评：本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数学结合、分类讨论的思想进行探究、分析与解决问题的能力．