Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若设2（e+ ）＜a＜ ，且f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数），

∴f（x）的定义域为（0，+∞）， = ，

令g（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16，对称轴x= ，g（0）=2，

当△=a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4时，f′（x）≥0，

∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．

当△=a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，

①若a＜﹣4，则f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．

②若a＞4，令f′（x）=0，得 ， ，

当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．

∴f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．

综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．

当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）

（2）解：由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x1+x2= ＞0，x1x2=1，∴0＜x1＜1＜x2，

又∵ ，a=2（ ）， ，e+ ＜ ＜3+ ，

又0＜x1＜1，解得 ．

∴f（x1）﹣f（x2）=（ ）﹣（ ）

=（ ）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）

=（x1﹣x2） ﹣a（x1﹣x2）+2ln

=﹣（ ）（x1+ ）+4lnx1

= ，

令h（x）= ，（ ），

则 ＜0恒成立，

∴h（x）在（ ）单调递减，∴h（ ）＜h（x）＜h（ ），

即 ﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜ ﹣4ln3，

故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（ ， ）

【解析】（1）求出f（x）的定义域为（0，+∞）， = ，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出f（x）的单调区间．（2）推导出f（x1）﹣f（x2）= ，令h（x）= ，（ ），则 ＜0恒成立，由此能求出f（x1）﹣f（x2）的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．