Question

设f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，则称f（x）为“倍缩函数”．若函数f（x）=ln（e^x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（　　）

• A、（

  1

  4

  ，+∞）
• B、（0，1）
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、（0，

  1

  4

  ）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，函数f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，且是增函数；可得

ln(ea+t)= a 2 ln(eb+t)= b 2

，可以转化为方程e^x-e

x

2

+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围．

解答：解：∵函数f（x）=ln（e^x+t）为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴

ln(ea+t)= a 2 ln(eb+t)= b 2

，
即

ea+t=e a 2 eb+t=e b 2

；
∴方程e^x-e

x

2

+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；
即

(-1)2-4t＞0 t＞0

，
解得0＜t＜

1

4

；
∴满足条件的t的范围是（0，

1

4

）；
故选：D．

点评：本题考查了函数的值域问题，解题时应构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决，是中档题．