Question

【题目】已知CD是等边三角形ABC的AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.

(1)求直线BC与平面DEF所成角的余弦值;

(2)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）以D为原点建立空间直角坐标系，设等边三角形ABC的边长为，可得直线BC的方向向量和平面EDF的法向量=(3,-,3)，设直线BC与平面DEF所成角为，则有，然后再求出，即为所求．（2）假设在线段BC上存在一点,使得AP⊥DE，则由=可得P，于是，由可得，符合题意，进而得到结论．

(1)以点D为坐标原点,直线DB,DC分别为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,

设等边三角形ABC的边长为a,则A,B,C,E,F,

设平面EDF的法向量为,

则

取=(3,-,3).

又因为,

设直线BC与平面DEF所成角为，

则，

所以，

即直线BC与平面DEF所成角的余弦值等于.

(2)假设在线段BC上存在一点,使AP⊥DE,

令=,

即=λ,

则P,

于是.

因为AP⊥DE,

所以，

整理得λa2-a2=0,

解得，符合题意.

故线段BC上存在一点P,使AP⊥DE.