Question

【题目】已知数列{an}的前n项为和Sn ， 点（n， ）在直线y= x+ 上．数列{bn}满足bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9项和为153．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列 的前n项和Tn
（3）设n∈N* ， f（n）= 问是否存在m∈N* ， 使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点（n， ）在直线y= x+ 上，

∴ = n+ ，

即Sn= n2+ n，

所以a1=6，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n+5．

且a1=6也适合，

所以an=n+5

∵bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），

∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn=…=b2﹣b1．

∴数列{bn}是等差数列，

∵b3=11，它的前9项和为153，

设公差为d，则b1+2d=11，9b1+ ×d=153，

解得b1=5，d=3．

∴bn=3n+2

（2）解：令 ，

∴ ，

，

则 ，

∴

（3）解：当n∈N*，f（n）= =

当m为奇数时，m+15为偶数，则有3（m+15）+2=5（m+5），解得m=11

当m为偶数时，m+15为奇数．若f（m+15）=5f（m）成立，m+15+5=5（3m+2），此时不成立

所以当m=11时，f（m+15）=5f（m）

【解析】（1）由题意可得Sn= n2+ n，解可求出通项可求an；由bn+2﹣2bn+1+bn=0bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn ， 从而可得数列bn为等差数列，结合题中所给条件可求公差d，首项b1 ， 进一步可求数列的通项．（2）由（I）可知数列 分别为等差、等比数列，对数列求和用错位相减，（3）当n∈N* ， f（n）= = ，分类讨论即可求出m的值．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．