Question

【题目】如图，直四棱柱的所有棱长均为2， 为中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）若，求平面与平面所成锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)45°.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)连结交于，取中点，连结.由题意可得是平行四边形，故.利用中位线的性质可得四边形为平行四边形.则，结合线面平行的判断定理可得平面.

(Ⅱ)以为原点，建立空间直角坐标系，结合点的坐标可求得平面的法向量，显然平面的一个法向量，据此计算可得平面与平面所成锐二面角的大小为45°.

试题解析：

(Ⅰ)连结交于，取中点，连结.

因为，所以是平行四边形，故.

又是的中位线，故，所以，

所以四边形为平行四边形.

所以，所以，

又平面， 平面，

所以平面.

(Ⅱ)以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则， ， ， ， ，

设平面的法向量，

则，即，

解得，

令，得，

显然平面的一个法向量，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的大小为45°.