Question

如图，已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为
F₁（-c，0）、F₂（c，0），点A（c，b），B（0，b），O为坐标原点，直线OA与直线F₂B的交点在双曲线E上．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）设直线F₁A与双曲线E 交于M、N两点，

F1M

=λ

MA

，

F1N

=μ

NA

，若λ+μ=4，求双曲线E的方程．
（3）在（2）的条件下，过点B的直线与双曲线E相交于不同的两点P、Q，求

BP

•

BQ

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将F₂B的中点(

c

2

，

b

2

)代入双曲线E的方程可得

c2

4a2

-

1

4

=1，由此能导出e．
（2）由e=

5

得a2=

1

2

b2，化简方程E为4x²-y²=b²，又直线F₁A的方程为y=

b

2c

(x+c)，代入双曲线E化简得（20b²-1）y²-20by+4b²=0，由此能得到所求双曲线E的方程．
（3）由B（0，1），设直线BP的方程为y=kx+1，代入双曲线E的方程4x²-y²=1，得（4-k²）x²-2kx-2=0，记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2= 2k 4-k2 x1x2 =- 2 4-k2 △=32-4k2＞0

，由此能得到

BP

•

BQ

的取值范围．

解答：解：（1）将F₂B的中点(

c

2

，

b

2

)代入双曲线E的方程可得：

c2

4a2

-

1

4

=1　
则e=

5

．
（2）由e=

5

得a2=

1

2

b2，化简方程E为：
4x²-y²=b²
又直线F₁A的方程为y=

b

2c

(x+c)，即x=c(

2y

b

-1)，
代入双曲线E化简得：
（20b²-1）y²-20by+4b²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴

y1+y2= 20b 20b2-1 y1y2= 4b2 20b2-1

由题意知，λ=

|F 1M|

|MA|

=

y1

b-y1

，μ=

|F1N|

|NA|

=

y2

b-y2

，
则λ+μ=

y1

b-y1

+

y2

b-y2

=

b(y1+y2)-2y1y2

b2-b(y1+y2)+y1y2

=

12

20b2-17

=4，
∴b²=1，
即b=1
故所求双曲线E的方程为4x²-y²=1
（3）由（2）知B（0，1），由题意可设直线BP的方程为：
y=kx+1
代入双曲线E的方程4x²-y²=1，化简得：
（4-k²）x²-2kx-2=0，
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则

x1+x2= 2k 4-k2 x1x2 =- 2 4-k2 △=32-4k2＞0

　　　
∴k²＜8

BP

•

BQ

=(x1，y1-1)  •(x2，y2-2)=

2(1+k2)

k2-4

，
令

BP

•

BQ

=m，则k2=

4m+2

m-2

∵0≤k²≤8　　
∴0≤

4m+2

m-2

＜8，
解得m≤-

1

2

或m＞

9

2

，
故所求

BP

•

BQ

的取值范围为（-∞，-

1

2

]∪(

9

2

，+∞)∪(

9

2

，+∞)．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．