Question

设项数均为（）的数列、、前项的和分别为、、.已知，且集合=.
（1）已知，求数列的通项公式；
（2）若，求和的值，并写出两对符合题意的数列、；
（3）对于固定的，求证：符合条件的数列对（，）有偶数对.

Answer 1

（1）；（2）时，数列、可以为（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，时，数列对（，）不存在.（3）证明见解析．

试题分析：（1）这实质是已知数列的前项和，要求通项公式的问题，利用关系来解决；
（2）注意到，从而，又，故可求出，，这里我们应用了整体思维的思想，而要写出数列对（，），可通过列举法写出；（3）可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的，即对于数列对（，），构造新数列对，（），则数列对（，）也满足题意，（要说明的是及=且数列与，与不相同（用反证法，若相同，则，又，则有均为奇数，矛盾）．
试题解析：（1）时，
时，，不适合该式
故，                       4分
（2）

又

得，=46，=26                                   8分
数列、可以为：
① 16,10,8,12；14,6,2,4      ② 14,6,10,16；12,2,4,8
③ 6,16,14,10；4,12,8,2      ④ 4,14,12,16；2,10,6,8
⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6      ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2            10分
（3）令，（）        12分

又=，得

=
所以，数列对（，）与（，）成对出现。         16分
假设数列与相同，则由及，得，，均为奇数，矛盾！
故，符合条件的数列对（，）有偶数对。               18分项和与的关系；（2）整体思想与列举法；（3）构造法．