【题目】对于无穷数列{an},记T={x|x=aj﹣ai,i<j},若数列{an}满足:“存在t∈T,使得只要am﹣ak=t(m,k∈N*,m>k),必有am+1﹣ak+1=t”,则称数列具有性质P(t).
(1)若数列{an}满足 ,判断数列{an}是否具有性质P(2)?是否具有性质P(4)?说明理由;
(2)求证:“T是有限集”是“数列{an}具有性质P(0)”的必要不充分条件;
(3)已知{bn}是各项均为正整数的数列,且{bn}既具有性质P(2),又具有性质P(5),求证:存在正整数N,使得aN,aN+1,aN+2,…,aN+K,…是等差数列.
【答案】(1)见解析; (2)见解析; (3)见解析.
【解析】
(1)由,可得a2﹣a1=2,但a3﹣a2=﹣1≠2,数列{an}不具有性质P(2);同理可判断数列{an}具有性质P(4);
(2)举例“周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,…,T={﹣1,0,1}是有限集,利用新定义可证数列{an}不具有性质P(0),即不充分性成立;再证明其必要性即可;
(3)依题意,数列{bn}是各项为正整数的数列,且{bn}既具有性质P(2),又具有性质P(5),可证得存在整数N,使得bN,bN+1,bN+2,…,bN+k,…是等差数列.
(1)∵,
a2﹣a1=2,但a3﹣a2=﹣1≠2,数列{an}不具有性质P(2);
同理可得,数列{an}具有性质P(4).
(2)证明:(不充分性)对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,…,
T={﹣1,0,1}是有限集,但是由于a2﹣a1=0,a3﹣a2=1,
所以不具有性质P(0);
(必要性)因为数列{an}具有性质P(0),
所以一定存在一组最小的且m>k,满足am﹣ak=0,即am=ak
由性质P(0)的含义可得am+1=ak+1,am+2=ak+2,…,a2m﹣k﹣1=am﹣1,a2m﹣k=am,…
所以数列{an}中,从第k项开始的各项呈现周期性规律:ak,ak+1,…,am﹣1为一个周期中的各项,
所以数列{an}中最多有m﹣1个不同的项,
所以T最多有个元素,即T是有限集;
(3)证明:因为数列{bn}具有性质P(2),数列{bn}具有性质P(5),
所以存在M′、N′,使得bM'+p﹣bM'=2,bN'+q﹣bN'=5,
其中p,q分别是满足上述关系式的最小的正整数,
由性质P(2),P(5)的含义可得,bM'+p+k﹣bM'+k=2,bN'+q+k﹣bN'+k=5,
若M'<N',则取k=N'﹣M',可得bN'+p﹣bN'=2;
若M'>N',则取k=M'﹣N',可得bM'+q﹣bM'=5.
记M=max{M',N'},则对于bM,有bM+p﹣bM=2,bM+q﹣bM=5,显然p≠q,
由性质P(2),P(5)的含义可得,bM+p+k﹣bM+k=2,bN+q+k﹣bN+k=5,
所以bM+qp﹣bM=(bM+qp﹣bM+(q﹣1)p)+(bM+(q﹣1)p﹣bM+(q﹣2)p)
+…+(bM+p﹣bM)=2qbM+qp﹣bM=(bM+pq﹣bM+(p﹣1)q)+
(bM+(p﹣1)q﹣bM+(p﹣2)q)+…+(bM+q﹣bM)=5p
所以bM+qp=bM+2q=bM+5p.
所以2q=5p,
又p,q是满足bM+p﹣bM=2,bM+q﹣bM=5的最小的正整数,
所以q=5,p=2,bM+2﹣bM=2,bM+5﹣bM=5,
所以,bM+2+k﹣bM+k=2,bM+5+k﹣bM+k=5,
所以,bM+2k=bM+2(k﹣1)+2=…=bM+2k,bM+5k=bM+5(k﹣1)+5=…=bM+5k,
取N=M+5,
若k是偶数,则bN+k=bN+k;
若k是奇数,则bN+k=bN+5+(k﹣5)=bN+5+(k﹣5)=bN+5+(k﹣5)=bN+k,
所以,bN+k=bN+k,
所以bN,bN+1,bN+2,…,bN+k,…是公差为1的等差数列
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本题满分14分)
已知椭圆C:过点,且长轴长等于4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是椭圆C的两个焦点,⊙O是以F1F2为直径的圆,直线l: y=kx+m与⊙O相切,并与椭圆C交于不同的两点A、B,若,求的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为,离心率为,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点M(0,-1),直线l经过点N(2,1)且与椭圆C相交于A,B两点(异于点M),记直线MA的斜率为,直线MB的斜率为,证明 为定值,并求出该定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,AB⊥BC,∠ADC=45°,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=3.
(1)求异面直线PB与CD所成角的大小;
(2)求点D到平面PBC的距离.
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