Question

已知函数f（x）=(

1

2x-1

+

1

2

)•x．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由分母不能为零得2^x-1≠0求解即可．要注意定义域要写成集合或区间的形式．
（2）在（1）的基础上，只要再判断f（x）与f（-x）的关系即可，但要注意作适当的变形．
（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立可即可．不妨证明：当x＞0时，则有2^x＞1进而有2^x-1＞0，

1

2x-1

＞0然后得到(

1

2x-1

+

1

2

)•x＞0．再由奇偶性得到对称区间上的结论．

解答：解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，∴函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵f（x）=(

1

2x-1

+

1

2

)•x=

2x+1

2(2x-1)

•x
∴f（-x）=

2-x+1

2(2-x-1)

•(-x)=-x•

1 2x +1

2( 1 2x -1)

=-x•

1+2x

2(1-2x)

=-

2-x+1

2(2-x-1)

•x=f(x)
∴函数f（x）为定义域上的偶函数．
（3）证明：当x＞0时，2^x＞1
∴2^x-1＞0，
∴

1

2x-1

＞0，
∴(

1

2x-1

+

1

2

)•x＞0
∵f（x）为定义域上的偶函数
∴当x＜0时，f（x）＞0
∴f（x）＞0成立

点评：本题主要考查函数的定义域，奇偶性和函数的值域，特别是在判断奇偶性时，可作适当变形，但要做到等价变形．