Question

已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2, AB=4

(Ⅰ) 证明:PQ平面ABCD ;    

(Ⅱ) 求异面直线AQ与PQ所成的角;

(Ⅲ) 求点P到平面QAD的距离.

Answer 1

解法一：　（Ⅰ）．连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD

都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.

（II）由题设知，ABCD是正方形，所以．由（I），平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，

所以,,于是

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)．由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，   

，设是平面QAD的一个法向量，

由    得.

取x=1，得.所以点P到平面QAD的距离.

解法二：　（Ⅰ）．取AD的中点M，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD

都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）．连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在

PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.

取OC的中点N，连结PN．

因为，所以，

从而AQ∥PＮ.∠BPＮ（或其补角）是异面直线AQ

与PB所成的角.连接BN，

因为．

所以．

从而异面直线AQ与PB所成的角是．

(Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD. 过Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ

于Ｈ，则ＰＨ⊥平面QAD，所以ＰＨ的长为点P到平面QAD的距离．

连结OM，则.所以，

又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是.

即点P到平面QAD的距离是.