Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣a是奇函数
（1）求实数a的值；
（2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＜m﹣1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）是奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ﹣a=﹣（ ﹣a），

∴2a=1，∴a=

（2）解：f（x）= ﹣ ，f（x）在R上是增函数，

下证：设x1、x2∈R且x1＜x2，且x1、x2是任意的，

f（x1）﹣f（x2）

=（ ﹣ ）﹣（ ﹣ ）

= ，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，

∴ ＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上是增函数

（3）解：对任意的实数x，不等式f（x）＜m﹣1恒成立，

则只需m﹣1＞f（x）max，

∵3x+1＞1，∴0＜ ＜1，

∴﹣1＜ ＜0，

﹣ ＜ ﹣ ＜ ，即﹣ ＜f（x）＜ ，

∴m﹣1≥ ，∴m≥ ，

即m的取值范围为：[ ，+∞）

【解析】（1）由奇函数定义知，有f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，由此可求a值；（2）设x1、x2∈R且x1＜x2 ， 通过作差判断f（x2）与f（x1）的大小，利用函数单调性的定义可作出判断；（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m﹣1恒成立，等价于m﹣1＞f（x）max ， 根据基本函数的值域可求出f（x）max ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．