Question

【题目】在平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点， 为的中点，且直线的斜率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设另一直线与椭圆交于两点，原点到直线的距离为，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，焦点，所以，再由，得，

进而得，即可得到椭圆的标准方程.

（Ⅱ）由题意，①当直线的斜率不存在时或者斜率为0时，易得；

②设直线的方程为： ，由题意，原点到直线的距离得到．

设交点的坐标分别为，联立方程组，得到，再由弦长公式，利用均值不等式，即可求解最值，进而得到面积的最值.

试题解析：

（Ⅰ）由题意，直线与轴交于焦点： ， ，设， ， ，则： ，

， ，

，又， ，

即椭圆的方程为：

（Ⅱ）由题意，①当直线的斜率不存在时或者斜率为0时，易得；

②当直线的斜率存在时且不为0时，设直线的方程为： ，由题意，原点到直线的距离为，故，

．设交点的坐标分别为： ， ，

则： ， ，

由题意， ．

，

当且仅当，即时等号成立， ；

综上所述，当直线的斜率时，

即时， 面积的最大值