Question

（本小题满分14分）

如图1，在直角梯形中，，，且．

现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．

   （1）求证：∥平面；

   （2）求证：平面；

   （3）求点到平面的距离.

 

Answer 1

(本小题满分14分)

                                                                                                                                          （1）证明：取中点，连结．

    在△中，分别为的中点，

 所以∥，且．

    由已知∥，，

 所以∥，且．                      …………………………3分

    所以四边形为平行四边形．

 所以∥．                                   …………………………4分

    又因为平面，且平面，

    所以∥平面．                                ………………………5分

（2）证明：在正方形中，．

    又因为平面平面，且平面平面，

    所以平面． 

    所以．                                      ………………………7分

    在直角梯形中，，，可得．

    在△中，，

    所以．

    所以．                                    …………………………8分

    所以平面．                              …………………………10分

（3）解法一：由（2）知，平面

又因为平面， 所以平面平面．    ……………………11分

    过点作的垂线交于点，则平面

    所以点到平面的距离等于线段的长度       ………………………12分    在直角三角形中，

    所以

    所以点到平面的距离等于.                  ………………………14分

   解法二：由（2）知，

    所以

                    ………………………12分

    又，设点到平面的距离为

    则  

    所以  

    所以点到平面的距离等于.                  ………………………14分