Question

【题目】知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．
（1）判断函数 f （x）的单调性；
（2）若函数 f （x）有两个极值点x1 ， x2 ， 求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=2ax﹣2+ = ，

令g（x）=2ax2﹣2x+1，△=4﹣8a，

①a≥ 时，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立，

则f（x）在（0，+∞）递增；

②a＜ 时，△=4﹣8a＞0，

由g（x）=0，解得：x1= ，x2= ，

（i）0＜a＜ 时，0＜x1＜x2，

此时f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增；

（ii）a＜0时，x2＜0＜x1，

此时f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增，

∴a≥ 时，f（x）在（0，+∞）递增，

0＜a＜ 时，f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增，

a＜0时，f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增；

（2）解：证明：由（1）得0＜a＜ 时，函数f（x）有2个极值点x1，x2，

且x1+x2= ，x1x2= ，

∴f（x1）+f（x2）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），

令h（a）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），（0＜a＜ ），

则h′（a）=﹣（ ﹣ ）= ＞0，

∴h（a）在（0， ）递增，

则h（a）＜h（ ）=﹣（ln +2）﹣（1+ln2）=﹣3，

即f（x1）+f（x2）＜﹣3．

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x1）+f（x2）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），令h（a）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），（0＜a＜ ），根据函数的单调性证明即可．