Question

已知是首项的递增等差数列，为其前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，为数列的前n项和．若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）。

解析试题分析：（1）把式中的、用和进行代换得与联立方程组解出，即可求出通项公式；（2）由（1）可得的通项公式，通过观察求的前项和可通过裂项求得，求得后代入不等式，得到一个关于和的二元一次不等式，要求的取值范围可通过将分离出来，然后用不等式的基本性质及函数的基本性质即可求出的取值范围。
试题解析：（1）由，得
           （2分）
            （4分）
（2）由（1）得
所以     （6分）
由已知得：恒成立，
因，所以恒成立，              （7分）
令，则
当为偶数时，
当且仅当，即时，，所以；  （8分）
当为奇数时，
可知随的增大而增大，所以，所以  （9分）
综上所诉，的取值范围是      （10分）  （其他解法请酌情给分）
考点：1、等差数列通项公式及前项和公式；2、列项求和法；3、基本不等式；4、函数的单调性。