【题目】如图1，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，点E在
上，且
，将三角形
沿线段
折起到
的位置，
（如图2）.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）在线段
上存在点F，满足
，求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）证明：取
中点
，连结
，推导出
，
，从而
平面
，由此能证明平面
平面．
（Ⅱ）取
中点
，连结
，推导出
，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．
解：（Ⅰ）证明：取中点，连结，
在直角梯形
中，
，
，
，
，
，
点
在
上，且
，将三角形
沿线段折起到的位置，
，
，
，
在
中，
，，
，
，
在
中，
，，
，
，
，
，
，
，
平面，
又
面
，平面平面．
（Ⅱ）解：取中点，连结，
，，，
，
面，
，，两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系，
，
，
，
，2，，
，0，，
又
是中点，
，2，，
，0，
，
，1，，
，3，，又
，
，
设平面的法向量
，
，
，
，4，，
，
，
，
则
，取
，得
，1，
，
平面的法向量
，0，，
设平面与平面所成的锐二面角为
，
则
，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
．
状元坊全程突破导练测系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设点
为抛物线
外一点，过点作抛物线
的两条切线
，
，切点分别为
，
．
（Ⅰ）若点为
，求直线
的方程；
（Ⅱ）若点为圆
上的点，记两切线，的斜率分别为
，
，求
的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某石雕构件的三视图如图所示，该石雕构件最中间的镂空部分是一个独特的几何体——牟合方盖（在一个立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分），其体积
（其中
为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为1，则该石雕构件的体积为( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】把方程
表示的曲线作为函数
的图象，则下列结论正确的是（ ）
①
在R上单调递减
②的图像关于原点对称
③的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3
④函数
不存在零点
A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．
（1）求直线与曲线的普通方程；
（2）若直线与曲线交于
、
两点，点
，求
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】对于定义在
上的函数
，若存在
，使
恒成立，则称为“
型函数”；若存在，使
恒成立，则称为“
型函数”.已知函数
.
（1）设函数
.若
，且
为“型函数”，求
的取值范围；
（2）设函数
.证明：当
，
为“
（1）型函数”；
（3）若
，证明存在唯一整数
，使得为“
型函数”.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率
的值的范围是：
，为纪念数学家祖冲之在圆周率研究上的成就，某教师在讲授概率内容时要求学生从小数点后的6位数字1，4，1，5，9，2中随机选取两个数字做为小数点后的前两位（整数部分3不变），那么得到的数字大于3.14的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f(x)＝ln (x＋1)－
－x，a∈R.
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－
(a∈Z)成立，求a的最小值．
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