Question

（12分）定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

(Ⅰ)求f（0）

（Ⅱ）求证f（x）为奇函数；

（Ⅲ）若f（）+f（3－9－2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解析：(Ⅰ)令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．… 2分

（Ⅱ）令y=-x，代入①式，得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有

0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，

所以f（x）是奇函数．            ………………………………6分

(Ⅲ) 因为f（x）在R上是增函数，又由（Ⅱ）知f（x）是奇函数．

f（）＜-f（3-9-2）=f（-3+9+2），  ＜-3+9+2，

3-（1+k）+2＞0对任意x∈R成立． …… …………………8分

令t=3＞0，问题等价于t-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．

，其对称轴为

………………10分

         解得：

综上所述，当时，

f（）+f（3-9-2）＜0对任意x∈R恒成立.…12分

法二：由＜-3+9+2………………8分

得……………9分

，即u的最小值为，………11分

要使对x∈R不等式恒成立，只要使……12分