Question

定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则
（1）求f（0）；         
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），变形可得f（0），
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），由（1）可得f（0）=0，即可得0=f（x）+f（-x），可得证明；
（3）根据题意，由f（x）的奇偶性与单调性，可将f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0变形为f（k•3^x）＜f（-3^x+9+2^x），进而可得k＜3x+

2

3x

-1，由基本不等式的性质，可得3x+

2

3x

-1有最小值，令k小于其最小值即可得k的取值范围．

解答：解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），
则f（0）=0，
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x），
即可证得f（x）为奇函数；
（3）因为f（x）在R上时增函数，又由（2）知f（x）是奇函数，
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9+2^x），
即有k•3^x＜-3^x+9^x+2，得k＜3x+

2

3x

-1，
又有3x+

2

3x

-1≥2

2

-1，即3x+

2

3x

-1有最小值2

2

-1，
所以要使f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，只要使k＜2

2

-1即可，
故k的取值范围是（-∞，2

2

-1）．

点评：本题考查函数的恒成立问题与抽象函数的应用，关键是用赋值法求出f（0），进而来判断函数的奇偶性．