Question

已知向

a

=(sinx，2

3

cosx)，

b

=(2sinx，sinx)，设f(x)=

a

•

b

-1．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f(x)的值域；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象关于直线x=α（α＞0）对称，求α的最小值．

Answer 1

分析：（1）因为

a

=(sinx，2

3

cosx)，

b

=(2sinx，sinx)，根据向量数量积的坐标运算可求出

a

•

b

．再根据f(x)=

a

•

b

-1，就可求出（x）的解析式为．为y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据x的范围求f（x）的范围．即可得到f（x）的值域；
（2）先由（1）所求f（x）的解析式求出对称轴，为带有参数k的无数多条，再根据函数y=f（x）的图象关于直线x=α（α＞0）对称，可求出α的值，最后利用α的范围求出其中最小的α值即可．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

-1=2sin2x+2

3

sinxcosx-1

= 3 sin2x-cos2x=2sin(2x- π 6 ) x∈[0， π 2 ]⇒2x- π 6 ∈[- π 6 ， 5π 6 ] ⇒sin(2x- π 6 )∈[- 1 2 ，1]⇒y∈[-1，2]

（2）∵由（1）y=2sin（2x-

π

6

）知，2x-

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，既x=

π

3

+2kπ，k∈Z为对称轴．
又∵若函数y=f（x）的图象关于直线x=α（α＞0）对称，∴α=

π

3

+2kπ，k∈Z
∵α＞0，∴当k=0时，αmin=

π

3

点评：平面向量是现行教材中的新增内容，近年来的高考对向量内容的考查逐步加强、渐趋完善，其中，向量与三角结合，既是一个热点，也是一个亮点，以平面向量为载体，以三角函数为背景，综合考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质以及平面向量的有关知识．求解本题，将|

m

+

n

|表示为θ的函数关系式是关键，三角公式的灵活运用是基础．在解题的过程中，要注意角的范围的限制作用，以防止漏解或增解，确保解题准确无误．