【题目】如图，在四棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
，
．
（1）求二面角
的正弦值；
（2）点
是线段
的中点，点
为线段
上点，若直线
与平面所成角的正弦值为
，求线段
的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）以
为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面
的法向量
，平面
的法向量
，根据公式得到两个法向量之间的夹角余弦，再求出二面角
的正弦值；（2）设
，得到
，
，根据公式，表示出
与之间的夹角余弦，即直线
和平面
所成角的正弦值，从而得到关于
的方程，求出的值，得到线段
的长.
（1）证明：如图，以为坐标原点，以
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
又因为
分别为
的中点，所以
.
，
，
，
设
是平面的法向量，
由
，得
，
取
，得
，
设
是平面的法向量，
由
，得
，
取，得
.
，
设二面角的平面角为
，
所以
，
所以二面角的正弦值为.
（2）由题意可设，其中
，∴，，
又因为
是平面的一个法向量，
所以
，
设直线和平面所成角为
，
，
整理，得
，
所以
，
解得
或
（舍）.
所以线段的长为.
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【题目】现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是
的四个座位上，他们分别有以下要求，
甲：我不坐座位号为
和
的座位；
乙：我不坐座位号为和
的座位；
丙：我的要求和乙一样；
丁：如果乙不坐座位号为的座位，我就不坐座位号为的座位.
那么坐在座位号为
的座位上的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
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【题目】已知函数f（x）=a（x-lnx）（a∈R）．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＜
+x-1恒成立，求实数a的取值范围．
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【题目】下列命题中正确的是（ ）
A.公差为0的等差数列是等比数列B.
成等比数列的充要条件是
C.公比
的等比数列是递减数列D.
是成等差数列的充分不必要条件
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【题目】如图，F1、F2是椭圆C1：
＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是___．
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【题目】下列五个命题：①直线
的斜率
，则直线的倾斜角的范围是
；②直线：
与过
，
两点的线段相交，则
或
；③如果实数
，
满足方程
，那么
的最大值为
；④直线与椭圆
恒有公共点，则
的取值范围是
；⑤方程
表示圆的充要条件是
或
；正确的是（ ）
A.②③B.③④C.②⑤D.②③⑤
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