Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选择题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

1 a -1 b

，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=

2 1

．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若向量β=

7 4

，计算A²β的值．

（2）．选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=

12

3cos2θ+4sin2θ

，点F₁，F₂为其左、右焦点，直线l的参数方程为

x=2+ 2 2 t y= 2 2 t

（t为参数，t∈R）．求点F₁，F₂到直线l的距离之和．
（3）．选修4-5：不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得（2E-A）α₁=

0

，解得a，b即可；先计算A²，进而计算出A²β．
（2）把直线的参数方程和椭圆的极坐标方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式求出即可；
（3）变形后再利用公式x²+y²+z²≥2（xy+xz+xy）≥xy+xz+yz，即可证明结论；也可以利用基本不等式去证明．

解答：解：（A）解：（1）∵矩阵A=

1 a -1 b

，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=

2 1

．
∴（2E-A）α₁=

0

，即

1 -a 1 2-b

 

2 1

=

0

，∴

2-a=0 2+2-b=0

，解得

a=2 b=4

，
∴矩阵A=

1 2 -1 4

．
（2）∵A²=

1 2 -1 4

 

1 2 -1 4

=

-1 10 -5 14

，
A²β=

-1 10 -5 14

 

7 4

=

33 21

．
（2）由直线l的参数方程为

x=2+ 2 2 t y= 2 2 t

（t为参数，t∈R），消去参数t得直线l普通方程为y=x-2；
由椭圆C的极坐标方程为ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

，化为3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴3x²+4y²=12，化为普通方程

x2

4

+

y2

3

=1．
∴c²=4-3=1，∴c=1．
∴焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），∴点F₁到直线l的距离d₁=

|-1-0-2|

2

=

3 2

2

；
F₂到直线l的距离d₂=

|1-0-2|

2

=

2

2

．
∴d₁+d₂=2

2

．
（C）证明：∵x，y，z都是为正数，
∴xyz(

x

yz

+

y

xz

+

z

xy

)=x2+y2+z2≥2（xy+xz+xy）≥xy+xz+yz，当且仅当x=y=z＞0时取等号；
∴

x

yz

+

y

xz

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

点评：充分理解矩阵的特征值和特征向量、极坐标方程与普通方程的互化公式及点到直线的距离公式、不等式的性质是解题的关键．