Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1及直线l：y=x+m．
（1）当直线l与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）若直线l过椭圆右焦点，并与椭圆交于A、B两点，求弦AB之长．

Answer 1

分析：（1）当直线l与椭圆有公共点时，两方方程联立，消去一个未知数，得到的关于另一个未知数的一元二次方程中，△≥0，即可得到m的范围．
（2）先求出过椭圆右焦点的直线方程，在于椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，求两根之和，两根之积，再利用弦长公式求弦AB之长．

解答：解：（1）由  

y=x+m x2 2 +y2=1

消y得，3x²+4mx+2m²-2=0
由于直线l与椭圆有公共点∴△=16m²-12（2m²-2）≥0，得m²≤3
故-

3

≤m≤

3

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l过椭圆右焦点（1，0）
此时直线l：y=x-1代入椭圆方程，得3x²-4x=0
故x=0或x=

4

3

，，有|AB|=

12+12

|x₁-x₂|=

4

3

2

点评：本题考查了直线与椭圆位置关系的判断，以及弦长公式的应用，属于基础题．