Question

设x、y∈R,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

Answer 1

证明：充分性：如果xy=0,那么①x=0,y≠0;②y=0,x≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.

如果xy＞0,即x＞0,y＞0或x＜0,y＜0.

当x＞0,y＞0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?；

当x＜0,y＜0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.

必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得（x+y）²=(|x|+|y|)²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,|xy|=xy,∴xy≥0.

解法二：|x+y|=|x|+|y|(x+y)²=(|x|+|y|)²x²+y²+2xy=x²+y²+2|xy|xy=|xy|xy≥0.