Question

设x、y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

Answer 1

思路解析:要证充分性,需证xy≥0|x+y|=|x|+|y|.

要证必要性,需证|x+y|=|x|+|y|xy≥0.

证明:充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0；②y=0,x≠0；③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.

如果xy＞0,即x＞0,y＞0或x＜0,y＜0,

当x＞0,y＞0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|；

当x＜0,y＜0时,|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.

总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|.

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)²=(|x|+|y|)²,

即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²,|xy|=xy,∴xy≥0.

误区警示

    对证明充要性一类题,先分析清楚充分性是证什么结论,必要性是证什么结论,二者不可颠倒.这也是证这类题易错点之一.