Question

如图，在中，，，点在边上，设，过点作交于，作交于。沿将翻折成使平面平面；沿将翻折成使平面平面．

（1）求证：平面；

（2）是否存在正实数，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）证明见详解；（2）不存在，理由见解析．

【解析】

试题分析：（1）以为坐标原点，以、分别为轴、轴建立空间直角坐标系，然后通过证明向量与平面平面的法向量垂直；本小题也可考虑通过证明平面平面来证明；（2）由条件知二面角为直二面角，因此可通过两个半平面的法向量互相垂直，即其数量积为通过建立方程来解决．

试题解析：（1）法一：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则设，

由，

从而于是，，

平面的一个法向量为，

又，，从而平面．

法二：因为，平面，所以平面，因为平面平面，且，所以平面．同理，平面，所以，从而平面．所以平面平面，从而平面．

（2）【解析】
由（1）中解法一有：，，

。可求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由，即，又，，由于，

所以不存在正实数，使得二面角的大小为．

考点：1、空间向量的应用；2、面角；3、直线、平面的平行关系；4、探索性问题