Question

【题目】已知椭圆过点，且焦距为4

（1）求椭圆的标准方程：

（2）设为直线上一点，为椭圆上一点.以为直径的圆恒过坐标原点.

(i)求的取值范围

(ii)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）(i)(ii)存在；定圆的方程

【解析】

（1）将点代入椭圆方程，结合关系，即可求解；

（2）(i)设，由已知有，可得代入椭圆方程，将用表示，进而求出关于的函数，根据函数特征求出最值；

(ii)将问题转化为原点到直线的距离是否为定值，先求出直线方程，求出坐标原点到直线的距离，利用(i)中关系将用表示，整理即可得出结论.

（1）将点的坐标代入椭圆的方程得，

解得，

所以椭圆C的方程为

（2）设.

因为以为直径的圆恒过点，

所以，即

因为点在椭圆上，所以；

(i)将代入椭圆，得

于是

因为

当且仅当，即时，取等号.

所以的取值范围为

(ii)存在.定圆的方程为.

假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值.

因为，所以直线方程为

，

整理可得

所以到直线的距离

由(i)知，，得.

，

注意到，知

所以

又

，

所以，

因此，直线与圆恒相切.