Question

【题目】已知圆的圆心为原点，其半径与椭圆的左焦点和上顶点的连线线段长度相等.

（1）求圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点的动直线（其斜率不为0）交圆于两点，试探究在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）当点为时，

【解析】分析：(1)根据题意，求出圆的标准方程；（2）假设存在符合条件的点.设，，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由得，利用根与系数关系表示

可得，斜率不存在也满足，说明存在符合条件的点.

详解：（1）由题知，椭圆的左焦点为，上顶点为，

故圆的半径，

所以圆的标准方程为.

（2）假设存在符合条件的点.

设，，，

当直线的斜率存在时，

设直线的方程为.

由

得，

所以，.

由，得，

即

.

即.

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆的交点坐标分别为，，显然满足.

所以当点为时，.