Question

【题目】已知函数（其中为自然对数的底， ）的导函数为.

（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；

（2）设点， 是函数图象上两点，若对任意的，割线的斜率都大于，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）由 ，记，问题转化为函数的图象与x轴的交点个数问题；（2）对任意的，割线的斜率都大于，即，记 ，研究函数的单调性与最值即可.

试题解析：

（1）时，由 ，记，

，当时， ，当时， ，所以当时， 取得极小值，

①当即时，函数在区间上无零点；

②当即时，函数在区间上有一个零点；

③当即时，函数在区间上有两个零点；

（2），

， ，

依题意：对任意的，都有，

即，

记 ， ，

记，则. 记，

则，

所以时， 递增，所以，

①当即时， ，即，所以在区间上单调递增，所以，得到，从而在区间上单调递增，

所以恒成立；

②当即时，因为时， 递增，所以，

所以存在，使得时， 即，所以在区间上单调递减，所以时， 即，

所以时， 在区间上单调递减，所以时， ，从而不恒成立。综上：实数的取值范围是．