Question

【题目】如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，点在底面的投影是线段的中点，为侧棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）先通过证明面，从而证得，再利用勾股定理证得，而，所以证得，再利用线面垂直判定定理证得面.

（2）利用向量法，以为原点，所在直线为轴，从而分别求出平面与平面的法向量，利用公式求出二面角的余弦值，再通过同角三角函数的平方关系求出正弦值.

（1）连接，因为平面，所以

又为正三角形，，所以

而，所以平面，

所以

在中，，

所以，则为等腰直角三角形

因为为侧棱的中点，所以，又，所以

而，所以平面

（2）如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系

则，，，

由得

由（1）得为平面的一个法向量

设为平面的一个法向量

由得

取得

所以

故平面与平面夹角的正弦值为