【题目】如图所示，在四个正方体中，
是正方体的一条体对角线，点
分别为其所在棱的中点，能得出
平面
的图形为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
利用线面垂直的判定定理证明AD满足，结合空间向量在BC中证明直线l与平面内的某条直线不垂直，即可得线面不可能垂直.
如图所示，正方体
.连接
，
分别为其所在棱的中点，
.
∵四边形
为正方形，
，
平面，
平面，
，
，
，
平面
，
平面，
.
，
，同理，可证
，
，
，
平面
，
平面，
平面，即l垂直平面，故A正确.
在D中，由A中证明同理可证
，
，又
，
平面.故D正确.
假设直线与平面垂直，则这条直线垂直于面内任何一条直线.
对于B选项建立直角坐标系如图：设棱长为2，
，直线l所在体对角线两个顶点坐标
，
所以其方向向量
，
，所以直线不可能垂直于平面.
同理可在C中建立相同直角坐标系，
，
，所以直线不可能垂直于平面.
故选：AD.
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【题目】如图是函数
的部分图象.
（1）求函数
的表达式；
（2）把函数
的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移
个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数
的图象.若对任意的
，方程
在区间
上至多有一个解，求正数
的取值范围.
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【题目】如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的
处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是
,点
在直径
上，且
．
（1）若
米，求
的长；
（2）设
, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
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【题目】某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为
，答对文科题的概率均为
，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分
的分布列与数学期望
.
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【题目】设
是圆
上的任意一点，
是过点且与
轴垂直的直线，
是直线与轴的交点，点
在直线上，且满足
当点在圆
上运动时，记点的轨迹为曲线
．
求曲线的方程；
已知直线
与曲线交于
两点，点
关于
轴的对称点为
，设
，证明：直线
过定点，并求
面积的最大值．
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【题目】已知椭圆
，离心率
，点
在椭圆上．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设点
是椭圆
上一点，左顶点为
，上顶点为
，直线
与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，求证： 
为定值．
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【题目】已知椭圆
的离心率为
， 
为焦点是
的抛物线上一点， 
为直线
上任一点， 
分别为椭圆
的上，下顶点，且
三点的连线可以构成三角形.
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线
与椭圆
的另一交点分别交于点
，求证：直线
过定点.
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【题目】如图，在斜三棱柱
中，底面
是边长为2的正三角形，侧棱长为
，点
在底面
的投影是线段
的中点
，
为侧棱
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面所成二面角的正弦值.
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【题目】下面四个命题：
①
在定义域上单调递增；
②若锐角
，
满足
，则
；
③
是定义在
上的偶函数，且在
上是增函数，若
，则
；
④函数
的一个对称中心是
；
其中真命题的序号为______.
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